Взвешенное скользящее среднее. Сглаживание ряда методом скользящего среднего

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Метод скользящих средних является одним из широко известных методов сглаживания временных рядов. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов.

Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного интервала времени (периода).

Затем период сдвигается на одно наблюдение, и расчет средней повторяется. При этом периоды определения средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом рассматриваемом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки.

При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал сглаживания, тем более плавным получается тренд. Сглаженный ряд короче первоначального на (n–1) наблюдений, где n – величина интервала сглаживания.

При больших значениях n колеблемость сглаженного ряда значительно снижается. Одновременно заметно сокращается количество наблюдений, что создает трудности.

Выбор интервала сглаживания зависит от целей исследования. При этом следует руководствоваться тем, в какой период времени происходит действие, а следовательно, и устранение влияния случайных факторов.

Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула:

Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза

Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

• Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
• Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
• Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом скользящей средней

Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо:

1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3).

2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов
m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76
Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.
Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.
m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62
Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.

3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:

где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель; mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52
Определяем скользящую среднюю m для октября.
m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5
Строим прогноз на декабрь.
У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53
Определяем скользящую среднюю m для ноября.
m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49
Строим прогноз на январь.
У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49
Заносим полученный результат в таблицу.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 9,01/8 = 1,13% точность прогноза высокая.

Далее решим данную задачу методами экспоненциального сглаживания и наименьших квадратов . Сделаем выводы.

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях для определения тенденции развития явления используется сглаживание динамического ряда методом скользящих средних.

Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиеся на различные подходы:

Аналитический подход;

Алгоритмический подход.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую.

При использовании алгоритмического подхода отказываются от ограничения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой данный момент времени . Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующего алгоритма.

1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующее среднее значение

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

а скользящая средняя определяется по формуле

,

где − фактические значение -го уровня;

− значение скользящей средней в момент ;

− длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно использовать четырех- и двенадцатичленную скользящую среднюю.

При четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

,

.

Рассмотрим применение скользящей средней по данным общей площади жилых помещений, приходящихся в среднем на 1 жителя по Хабаровскому краю (таблица 2.1.1).

Поскольку период сглаживания не обосновать, расчеты начинают с 3-членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для 1993 г.:

.

Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для последующих лет.

Для 1994 г. скользящая средняя составит

,

для 1995 г. , и т.д.

Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на уровень при нечетном периоде скольжения и на уровней при четном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере сглаженный ряд стал короче на два члена для трехчленной средней и на четыре – для пятичленной (таблица 2.1.1).

При расчете по четным скользящим средним (в нашем примере 4-членная скользящая средняя) вычисления производятся следующим образом:

Для 1994 г. ;

1995 г. ;

1996 г. .

Таблица 2.1.1 – Результаты сглаживания по методу скользящих средних

Как видно из таблицы 2.1.1, трехчленная скользящая средняя демонстрирует выравненный динамический ряд с однонаправленной тенденцией движения уровней. Сглаживание по трехчленной скользящей средней дало более сглаженный ряд, так как для трехчленной скользящей средней оказалась меньше сумма квадратов отклонений фактических данных () от сглаженных () ( = 0,179) (таблица 2.1.1). Иными словами, трехчленная скользящая средняя лучше всего представляет закономерность движения уровней динамического ряда.

Индикатор Moving Average — является одним из самых основных инструментов технического анализа на Форекс. Он представляет собой запаздывающую линию на графике, которая сглаживает ценовое действие. Причина отставания в том, что скользящая средняя усредняет определенное количество периодов на графике.

Основная функция которую даёт Скользящая Средняя, заключается в предоставлении трейдеру смысла полного направления тренда, а также может обеспечить сигналы для предстоящих ценовых движений. Кроме того, Скользящая Средняя может выступать в качестве важной области поддержки и сопротивления. Причина этого заключается в том, что ценовое действие имеет тенденцию соответствовать определенным психологическим уровням на графике.

Расчёт Скользящей Средней

Каждая Скользящая Средняя подлежит расчету, который дает выходной сигнал, который может быть построен на ценовом графике. Представьте, что у вас есть Простая Скользящая Средняя с 5 периодами на графике EUR/USD. Это означает, что каждый период на SMA даст вам среднее число этих 5 предыдущих периодов на графике. Таким образом, если цена EUR/USD начинает увеличиваться, SMA начнет увеличение 5 периодов позже. Если EUR/USD составляет 1.1000, 1.1100, 1.1200, 1.1300 и 1.1400 в течение пяти последовательных периодов, то SMA 5-периода даст нам значение:

• (1.1000 + 1.1100 + 1.1200 + 1.1300 + 1.1400) / 5 = 1.1200

Поэтому Скользящая Средняя является запаздывающим индикатором — потому что необходимо определенное количество периодов, чтобы показать значение. Что касается этого, скользящая средняя может быть установлена на любой период который вы хотите.

Вот как выглядит Скользящая Средняя на графике:

Это ценовой график с двумя Простыми Скользящими Средними. Синяя линия представляет собой SMA 5-периода, которая учитывает 5 периодов на графике, чтобы показать значение. Красная линия представляет собой SMA 20-периода, который учитывает 20 периодов на графике, чтобы показать значение.

Обратите внимание на то, что красная SMA 20-периода медленнее, чем синяя SMA 5-периода. Она более гладкая и не реагирует на небольшие колебания цен. Причина этого заключается в том, что SMA 20-периода принимает во внимание большее количество периодов. Таким образом, если у нас есть быстрое изменение цены, которая длится в течение одного периода, а затем цена возвращается в нормальное русло, остальные 19 периодов нейтрализуют это колебание. Смотрите расчет ниже:

Скажем цена зависла на 1,50 в течение 10 периодов. На одиннадцатом периоде цена достигает 1,55 — существенное движение в 500 пипсов. Затем в течение последующих 9 периодов цена возвращается и остается на 1,50. Что покажет SMA 20-периода?

• (19 х 1,55 + 1,50) / 20 = 1,5025 (значение SMA 20-периода)

Теперь скажем, старт цены на 1,50 в течение первого периода. Затем в течение второго периода цена достигает 1,55. Затем в течение следующих трех периодов цена возвращается и остается на 1,50. Что покажет SMA 5-периода?

• (4 х 1,55 + 1,50) / 5 = 1,5100 (значение SMA 5-периода)

Таким образом, в первом случае мы имеем значение 1.5025, которое едва дифференцирует от основного диапазона цены в 1,50. Во втором случае мы имеем значение 1.5100, что на 75 пунктов больше. Таким образом, SMA с большим периодом сглаживает цену лучше и меньше реагирует на отдельные барные колебания.

Типы Скользящих Средних

В зависимости от того, как рассчитываются скользящие средние, их существует несколько различных типов. Например, некоторые из линий Moving Average измеряют недавнее ценовое действие в большей степени, чем прошлое ценовое действие, другие рассматривают все ценовое действие одинаково за весь период. Давайте теперь взглянем на самые популярные типы Скользящих Средних:

Простая (Simple Moving Average или SMA)

Выше вы видели структуру наиболее распространенной Скользящей Средней — Простая Скользящая Средняя. Она просто дает среднее арифметическое периодов на графике.

Экспоненциальная (Exponential Moving Average или EMA)

Экспоненциальная Скользящая Средняя (EMA) является еще одной скользящей средней, которую часто используют трейдеры. Она выглядит так же, как и простая скользящая средняя на графике. Однако вычисление EMA отличается от расчета SMA. Причина этого заключается в том, что ЕМА делает больший акцент на более поздние периоды.

• М: множитель
• P: текущая цена

Предыдущая EMA: предыдущее значение EMA; Если нет предыдущее значение EMA, используется значение того же периода SMA.

Теперь мы должны вычислить множитель. Он относится к другой формуле:

• М = 2 / n + 1
• М: множитель
• n: соответствующие периоды
• Давайте теперь вычислим EMA 20-периода. Сначала мы вычислим множитель.
• М = 2/20 + 1
• М = 2/21
• M = 0,095 (0,0952380952380952)

Теперь мы будем вычислять текущую EMA. Тем не менее, нам потребуется предыдущее значение EMA. Скажем, предыдущее значение EMA равно 1.40, а текущая цена составляет 1,38. Значения которые мы имеем, мы будем использовать в формуле:

• EMA = М х Р + (1 — М) х (предыдущая EMA)
• M = 0,095
• P = 1,38
• Предыдущая EMA = 1,40
• EMA = 0,095 х 1,38 + (1 — 0,095) х 1,40
• EMA = 0,1311 + 0,905 х 1,40
• EMA = 0,1311 + 1,267
• EMA = 1,3981

Множитель, который мы рассчитали определяет акцент на недавние периоды. Таким образом, чем больше существует периодов, тем меньше будет акцент, так как он будет охватывать больше периодов. Теперь позвольте мне показать вам на графике чем ЕМА отличается от SMA:

Это дневной график EUR/USD с красными и синими Скользящими Средними 50-периода. Красная является SMA 50-периода, а синяя является EMA 50-периода. Как мы уже говорили, EMA и SMA отличаются, и они не двигаются вместе, потому что EMA делает акцент на более поздние периоды. Теперь посмотрим на черный эллипс и черную стрелку на графике. Обратите внимание на то, что свечи в эллипсе большие и бычьи, что указывает на сильное повышение цены. Это когда синяя EMA выходит выше красной SMA, потому что акцент ЕМА больше падает на эти свечи.

Взвешенная (Weighted Moving Average или WMA)

Взвешенная Скользящая Средняя имеет аналогичную структуру Экспоненциальной Скользящей Средней. Разница заключается в том, что WMA делает акцент на периоды с более высоким объемом. Вот как вычисляется WMA 5-периода:

• WMA 5-периода = (P1 х V1) + (P2 х V2) + (P3 х V3) + (P4 х В4) + (P5 х V5) / (V1 + V2 + V3 + V4 + V5)
• P: цена соответствующего периода
• V: объем в соответствующем периоде

Таким образом, чем выше объем периода, тем больше акцент будет сделан на этот период. Посмотрите на изображение ниже.

Этот часовой график EUR/USD показывает быстрый рост цен на больших объемах. У нас есть две скользящие средние на графике. Красная линия представляет собой 50-период Простой Скользящей Средней, а розовая линия является 50-периодом Взвешенного Скользящего Среднего Значениея.

В черном эллипсу мы видим стремительный рост цен. В черном квадрате мы видим, что рост цен происходит из-за высоких объемов торгов по паре EUR/USD. Именно поэтому WMA в это время переключается выше SMA — высокие объемы, а WMA делает акцент на более высокие показания объема.

Анализ тренда

Индикаторы Скользящих Средних (МА) могут помочь нам определить начало и конец тренда. Метод торговли включает в себя несколько сигналов, которые говорят нам, когда быть готовым для входа и выхода из рынка. Давайте поговорим о них еще…

1. Цена пересекает линию МА
2. Самый основной сигнал состоит в пересечении ценой самой Скользящей Средней.
3. Когда цена пробивает МА вверх, мы получаем бычий сигнал.
4. А если на оборот, когда цена пробивает Скользящую Среднюю вниз, мы получаем медвежий сигнал.

Это 4 часовой график USD/JPY с январь по февраль 2016 года, у нас на графике SMA 20-периода. На рисунке показаны четыре сигнала, вызванные ценовым действием и взаимодействия скользящей средней линии.

В первом случае цена пробивает SMA 20-периода в бычьем направлении. Это создает длинный сигнал. И в впоследствии рост цены. Второй сигнал на графике является медвежьим. Тем не менее сигнал — ложный прорыв, и цена быстро возвращается выше SMA. Затем цена пробивает SMA 20-периода в медвежьем направлении, создавая короткий сигнал. Следующее падение является довольно сильным и устойчивым.

Если вы торгуете по этой стратегии, вы должны помнить, что в целом, чем больше периодов, включенных в Скользящее среднее значение, тем надежнее сигнал. И многие трейдеры, которые следуют за простой системой скользящего среднего значения, очень тесно наблюдают за 50-дневной скользящей средней и 200-дневной линией скользящего среднего значения. Тем не менее, при использовании более высокой скользящей средней, отставание скользящей средней линии к действию текущей цены будет также большим. Это означает, что каждый сигнал будет приходить позже, чем когда мы используем Скользящую Среднюю с меньшим количеством периодов.

Это тот же самый график USD/JPY, но на этот раз у нас на графике размещена SMA 30-периода вместе с оригинальной 20-периодной SMA. Обратите внимание на то, что синяя SMA 30-периода изолирует фальшивый сигнал. Тем не менее, сигнал для сильного медвежьего тренда наступает позднее, чем на 20-периодной SMA (красная). Длинный сигнал в конце тренда наступает также позже. Имейте в виду, что не существует оптимального значения скользящей средней линии, которая может использоваться на всех рынках или даже на одном.

Пересечение скользящих средних

Пересекающийся сигнал Скользящего среднего значения включает в себя использование более одной скользящей средней. Для того, чтобы получить пересечение скользящих средних, мы должны видеть, что более быстрое Скользящее среднее значение ломает более медленное скользящее среднее значение. Если переход находится в бычьем направлении, мы получим длинный сигнал. Если переход находится в медвежьем направлении, мы получаем короткий сигнал.

Это месячный график пары EUR/USD за период с 2007 по 2016 год. Синяя линия на графике представляет собой SMA 150-периода. Обратите внимание на то, что пару раз цена EUR/USD тестировала SMA 150-периода в качестве поддержки. Два теста произошли в середине 2010 года и в середине 2012 года. В середине 2014 года цена снизилась до SMA 150-периода для нового теста. Тем не менее, SMA была резко сломана в медвежьем направлении, в результате чего цена EUR/USD упала до 12-летнего минимума.

Это еще один пример Скользящей Средней на дневном графике USD/JPY. Изображение показывает 200 дневную скользящую среднюю линию на графике. Цена пробивает 200-дневный SMA, а затем проверяет его в качестве сопротивления. Это говорит о важности 200-периода SMA на дневном таймфрейме.

Торговля по Фибоначчи и Скользящим Средним

Существует психологическая связь между отношениями Фибоначчи и некоторыми Скользящими средними значениями. Трейдеры могут использовать скользящие средние на основе чисел Фибоначчи, для помощи в обнаружении динамической области поддержки и сопротивления на ценовом графике. Давайте посмотрим на пример:

Изображение выше показывает дневной график GBP/USD с сентября 2013 года по август 2014 года. На графике отображаются три Простых Скользящих Средних, что соответствует следующим числам Фибоначчи:

• Синий: SMA 8-периода
• Красный: SMA 21-периода
• Желтый: SMA 89-периода

Как вы видите, периоды чисел этих SMA взяты из известной последовательности Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д.

На приведенном выше графике мы используем желтую Простую Скользящую Среднюю 89 периода в качестве поддержки сильного восходящего тренда. В то же время, пересечения синего 8 периода и красного 21 периода SMA могут использоваться для точных точек входа и выхода на потенциальных торговых позициях. На нашем примере, мы имеем 5 потенциально хороших торговых условий на пути вверх. Когда цена тестирует желтый 89 период SMA в качестве поддержки и отскакивает вверх, происходит длинный сигнал, когда синяя и красная SMA пересекаются вверх после отскока (зеленые кружки). Сигнал выхода приходит после того, как происходит пересечение в противоположном направлении (красный круг).

Обратите внимание на то, что после последней длинной сделки, цена уменьшается через желтую SMA 89-периода, что дает сильный сигнал разворота.

Во всех примерах выше мы использовали Простые Скользящие Средние, потому что они являются одними из наиболее часто используемых в торговле на Форекс. Тем не менее, торговые стратегии описанные выше будут работать точно так же и с другими типами скользящих средних — экспоненциальное, Volume Weighted, и т.д.

Во всех примерах выше мы использовали Простые Скользящие средние значения, потому что это — то, обычно используемое в торговле Форекса. Тем не менее, торговые стратегии выше работали бы тот же самый путь с различными скользящими средними значениями – Экспоненциальной, Взвешенной, и т.д.

Заключение

Индикатор Moving Average является одним из наиболее важных инструментов технического анализа на Форекс.

Существуют различные типы скользящих средних на основе критериев для усреднения периодов. Некоторые из наиболее широко используемых скользящих средних:
Простая скользящая средняя (SMA): Это простое среднее арифметическое из выбранных периодов.
Экспоненциальная скользящая средняя (EMA): Она делает акцент на более поздних периодах.
Взвешенная Скользящая Средняя (WMA): Она делает акцент на периоды с более высокими объемами торгов

Скользящие средние могут быть использованы для получения сигналов входа и выхода. Два основных сигнала Moving Average:

• Цена пересекает скользящую среднюю
• Многократное пересечение скользящих средних

Некоторые самые важные уровни Скользящего Среднего Значения:

• SMA с 50 периодом
• SMA с 100 периодом
• SMA с 150 периодом
• SMA с 200 периодом

Трейдеры могут осуществлять с добавлением Скользящих Средних, которые отвечают на хорошо известную последовательность чисел Фибоначчи. Некоторые наиболее используемые:

• 8-период SMA
• 21-период SMA
• 89-период SMA

Метод скользящей средней  метод изучения в рядах динамики основной тенденции развития явления.

Суть метода скользящей средней состоит в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем  средний уровень из того же числа уровней, начиная со второго, далее  начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

Средняя из нечетного числа уровней относится к середине интервала. Если интервал сглаживания четный, то отнесение средней к определенному времени невозможно, она относится к середине между датами. Для того чтобы правильно отнести среднюю из четного числа уровней, применяется центрирование, т. е. нахождение средней из средней, которую относят уже к определенной дате.

Покажем применение скользящей средней на следующем примере. Пример 3.1 . На основе данных об урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1989–2003 гг. проведем сглаживание ряда методом скользящей средней.

Динамика урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1989–2003 гг. и расчет скользящих средних

1 . Рассчитаем трехлетние скользящие суммы. Находим сумму урожайности за 1989–1991 гг.: 19,5  23,4  25,0  67,9 и записываем это значение в 1991 г. Затем из этой суммы вычитаем значение показателя за 1989 г. и прибавляем показатель за 1992 г.: 67,9 – 19,5  22,4  70,8 и это значение записываем в 1992 г. и т. д.

2 . Определим трехлетние скользящие средних по формуле простой средней арифметической:

Полученное значение записываем в 1990 г. Затем берем следующую трехлетнюю скользящую сумму и находим трехлетнюю скользящую среднюю: 70,8: 3  23,6, полученное значение записываем в 1991 г. и т. д.

Аналогичным образом рассчитываются четырехлетние скользящие суммы. Их значения представлены в графе 4 таблицы данного примера.

Четырехлетние скользящие средние определяются по формуле простой средней арифметической:

Это значение будет отнесено между двумя годами - 1990 и 1991 гг., т. е. в середине интервала сглаживания. Для того чтобы найти четырехлетние скользящие средние центрированные, необходимо найти среднюю из двух смежных скользящих средних:

Эта средняя будет отнесена к 1991 г. Аналогичным образом рассчитываются остальные центрированные средние; их значения записываются в графу 6 таблицы данного примера.

4. Метод аналитического выравнивания

Уравнение прямой при аналитическом выравнивании ряда динамики имеет следующий вид:

где - выровненный (средний) уровень динамического ряда; a 0 , a 1 - параметры искомой прямой; t - обозначение времени. 

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров a 0 и a 1:

где у  исходный уровень ряда динамики ; n  число членов ряда.

Система уравнений упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю, т. е. начало времени перенести в середину рассматриваемого периода.

Если то

Исследование динамики соц.-экон. явлений и установление основной тенденции развития дают основание для прогнозирования (экстраполяции)  определения будущих размеров уровня экономического явления. Используют следующие методы экстраполяции:

■ средний абсолютный прирост  с/показатель, исчисляемый для выражения средней скорости роста (снижения) соц.-эк. процесса. Определяется по формуле:

■ средний темп роста;

■ экстраполяцию на основе выравнивания по какой-либо аналитической формуле.Метод аналитического выравнивания-метод исследования динамики соц.-экон. явлений, позволяющий установить основные тенденции их развития.

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на ПримерЕ 4.1 . Исходные и расчетные данные определения параметров уравнения прямой:

Практическое моделирование экономических ситуаций подразумевает разработку прогнозов. С помощью средств Excel можно реализовать такие эффективные способы прогнозирования, как: экспоненциальное сглаживание, построение регрессий, скользящее среднее. Рассмотрим подробнее использование метода скользящего среднего.

Использование скользящих средних в Excel

Метод скользящей средней – один из эмпирических методов для сглаживания и прогнозирования временных рядов. Суть: абсолютные значения ряда динамики меняются на средние арифметические значения в определенные интервалы. Выбор интервалов осуществляется способом скольжения: первые уровни постепенно убираются, последующие – включаются. В результате получается сглаженный динамический ряд значений, позволяющий четко проследить тенденцию изменений исследуемого параметра.

Временной ряд – это множество значений X и Y, связанных между собой. Х – интервалы времени, постоянная переменная. Y – характеристика исследуемого явления (цена, например, действующая в определенный период времени), зависимая переменная. С помощью скользящего среднего можно выявить характер изменений значения Y во времени и спрогнозировать данный параметр в будущем. Метод действует тогда, когда для значений четко прослеживается тенденция в динамике.

Например, нужно спрогнозировать продажи на ноябрь. Исследователь выбирает количество предыдущих месяцев для анализа (оптимальное число m членов скользящего среднего). Прогнозом на ноябрь будет среднее значение параметров за m предыдущих месяца.

Задача. Проанализировать выручку предприятия за 11 месяцев и составить прогноз на 12 месяц.

Сформируем сглаженные временные ряды методом скользящего среднего посредством функции СРЗНАЧ. Найдем средние отклонения сглаженных временных рядов от заданного временного ряда.

Относительные отклонения:

Средние квадратичные отклонения:

При расчете отклонений брали одинаковое число наблюдений. Это необходимо для того, чтобы провести сравнительный анализ погрешностей.

После сопоставления таблиц с отклонениями стало видно, что для составления прогноза по методу скользящей средней в Excel о тенденции изменения выручки предприятия предпочтительнее модель двухмесячного скользящего среднего. У нее минимальные ошибки прогнозирования (в сравнении с трех- и четырехмесячной).

Прогнозное значение выручки на 12 месяц – 9 430 у.е.

Применение надстройки «Пакет анализа»

Для примера возьмем ту же задачу.

На вкладке «Данные» находим команду «Анализ данных». В открывшемся диалоговом окне выбираем «Скользящее среднее»:

Заполняем. Входной интервал – исходные значения временного ряда. Интервал – число месяцев, включаемое в подсчет скользящего среднего. Так как сначала будем строить сглаженный временной ряд по данным двух предыдущих месяцев, в поле вводим цифру 2. Выходной интервал – диапазон ячеек для выведения полученных результатов.

Установив флажок в поле «Стандартные погрешности», мы автоматически добавляем в таблицу столбец со статистической оценкой погрешности.

Точно так же находим скользящее среднее по трем месяцам. Меняется только интервал (3) и выходной диапазон.

Сравнив стандартные погрешности, убеждаемся в том, что модель двухмесячного скользящего среднего больше подходит для сглаживания и прогнозирования. Она имеет меньшие стандартные погрешности. Прогнозное значение выручки на 12 месяц – 9 430 у.е.

Составлять прогнозы по методу скользящего среднего просто и эффективно. Инструмент точно отражает изменения основных параметров предыдущего периода. Но выйти за пределы известных данных нельзя. Поэтому для долгосрочного прогнозирования применяются другие способы.